问题:一条长度为 1 的线段,随机在其上选 2 个点,将线段分为 3 段,问这 3 个子段能组成一个三角形的概率是多少? 答:1/4 证明: 假设我们选择的两个点的坐标是 x 和 y(先假设 x < y),则三个边的长度分别为 x、y-x、1-y。 那么由三角形两边和大于第三边的性质,可得到以下三个不等式: (1 ..

一条长度为 1 的线段,随机剪两刀,求能够组成三角形的概率

问题:一条长度为 1 的线段,随机在其上选 2 个点,将线段分为 3 段,问这 3 个子段能组成一个三角形的概率是多少?

答:1/4

证明:
假设我们选择的两个点的坐标是 x 和 y(先假设 x < y),则三个边的长度分别为 x、y-x、1-y。 
那么由三角形两边和大于第三边的性质,可得到以下三个不等式: 
(1) x + (y-x) > (1-y) 
(2) x + (1-y) > (y-x) 
(3) (1-y) + (y-x) > x

由上述不等式得到:
x < 0.5
0.5 < y < x+0.5 

然后画个图,如下图所示,其中阴影面积就是求得的联合概率,为 1/8。因为这个结果是建立在假设 x < y 上得来的,因此当 y < x 时依然有 1/8 的概率。所以综合来讲,可以组成三角形的概率为 1/4。
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