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我们都知道,数据结构和算法本身解决的是 “快” 和 “省” 的问题,即如何让代码运行得更快,如何让代码更省存储空间。所以,执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢?这里就要用到我们今天要讲的内容:时间、空间复杂度分析。

其实,只要讲到数据结构与算法,就一定离不开时间、空间复杂度分析。而且我个人认为,复杂度分析是整个算法学习的精髓,只要掌握了它,数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

复杂度分析实在太重要了,因此我准备用两节内容来讲。希望你学完这个内容之后,无论在任何场景下,面对任何代码的复杂度分析,你都能做到 “庖丁解牛” 般游刃有余。

为什么需要复杂度分析?

你可能会有些疑惑,我把代码跑一遍,通过统计、监控,就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢?这种分析方法能比我实实在在跑一边得到的数据更准确吗?

首先,我可以肯定地说,你这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多数据结构和算法书籍还给这种方法起了一个名字,叫事后统计法。但是,这种统计方法有非常大的局限性。

1. 测试结果非常依赖测试环境

测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如,我们拿同样的一段代码,分别用 Intel Core i9 处理器和 Intel Core i3 处理器来运行,不用说,i9 处理器要比 i3 处理器执行的速度快很多。还有,比如原本在这台机器上 a 代码执行的速度比 b 代码要快,等我们换到另一台机器上时,可能会有截然相反的结果。

2. 测试结果受数据规模的影响很大

后面我们会讲排序算法,我们先拿它举个例子。对用一个排序算法,待排序数据的有序度不一样,排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况下,如果数据已经是有序的,那排序算法不需要做任何操作,执行时间就会非常短。除此之外,如果测试数据规模太小,测试结果可能无法真实地反映算法的性能。比如,对于小规模的数据排序,插入排序可能反倒会比快速排序要快!

所以,我们需要一个不用具体的测试数据来测试,就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是我们今天要讲的时间、空间复杂度分析方法。

大 O 复杂度表示法

算法的执行效率,粗略的讲,就是算法代码执行的时间。但是,如何在不运行代码的情况下,用 “肉眼” 得到一段代码的执行时间呢?

这里有段非常简单的代码,求 1,2,3...n 的累加和。现在,我就带你一块来估算一下这段代码的执行时间。

1 int cal(int n){
2    int sum = 0;
3    int i = 1;
4    for(;i <= n;++i){
5         sum += i;
6    }
7     return sum;
8 }

从 CPU 的角度来看,这段代码的每一行都执行着类似的操作:读数据 - 运算 - 写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样,但是,我们这里只是粗略估计,所以可以假设每行代码执行的时间都一样,为 unit_time。在这个假设的基础之上,这段代码的总执行时间是多少呢?

第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间,第 4、5 行都运行了 n 遍,所以需要 2n * unit_time 的执行时间,所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2) * unit_time。可以看出来,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

按照这个分析思路,我们再来看这段代码。

 1 int cal(int n){
 2    int sum =0;
 3    int i = 1;
 4    int j = 1;
 5    for(; i <=n;i++){
 6        j = 1;
 7        for(;j <=n; ++j){
 8            sum = sum + i * j;
 9        }
10    }
11 }

我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是 duo 多少呢?

第 2、3、4 行代码,每行需要 1 个 unit_time 的执行时间,第 5、6 行代码循环执行了 n 遍,需要 2n * unit_time 的执行时间,第 7、8 行代码循环执行了 n2 遍,所以需要 2n2 * unit_time 的执行时间。所以,整段代码总的执行时间 T(n) = (2n2+2n+3) * unit_time。

尽管我们不知道 unit_time 的具体值,但是通过这两段代码执行时间的推导过程,我们可以得到一个非常重要的规律,那就是,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比

我们可以把这个规律总结成一个公式。注意,大 O 就要登场了!

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我来具体解释一下这个公式。其中,T(n) 我们已经讲过了,它表示代码执行的时间;n 表示数据规模的大小;f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式,所以用 f(n) 来表示。公式中的 O , 表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

所以,第一个例子中的 T(n) = O(2n + 2),第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫做作渐进时间复杂度(asymptotic time complexity),简称时间复杂度

当 n 很大时,你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大 O 表示法表示刚将的那两段代码的时间复杂度,就可以记为:T(n) = O(n); T(n) = O(n2)。

时间复杂度分析

前面介绍了大 O 时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下,如何分析一段代码的时间复杂度?我这儿有三个比较实用的方法可以分享给你。

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

我刚才说了,大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉分式中的常量、低阶、系数,只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以,我们再分析一个算法,一段代码的时间复杂度的时候,也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这端核心代码执行次数的 n
的量级,就是整段要分析代码的时间复杂度。

为了便于你理解,我还拿前面的例子来说明。

 1  int cal(int n ){
 2      int sum = 0;
 3      int i = 0;
 4      for (; i <= n; ++i){
 5          sum += i;
 6      }
 7      return sum;
 8  }

其中 2、3 行代码都是常量级别的执行时间,与 n 的大小无关,所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码,所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过,这两行代码被执行了 n 次,多以总的时间复杂度是 O(n).

2. 加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

我这里还有一段代码。你可以先试着分析一下,然后在往下看跟我的分析思路是否一样。

  1   int cal(int n){
  2      int sum_1 = 0;
  3      int p = 1;
  4      for (; p < 100; ++p){
  5          sum_1 += p;
  6      }
  7
  8      int sum_2 = 0;
  9      int q = 1;
 10      for (; q < n; ++q){
 11         sum_2 += q;
 12      }
 13       
 14      int sum_3 = 0;
 15      int i = 1;
 16      int j = 1;
 17      for (; i <= n; ++i){
 18          j = 1;
 19          for (; j <= n; ++j){
 20              sum_3 = sum_3 + i * j;
 21          }
 22      } 
 23       
 24      return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 25  }

这个代码分为三部分,分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度,然后把它们放到一块儿,再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

第一段的时间复杂度是多少呢?这段代码循环执行了 100 次,所以是一个常量的执行时间,跟 n 的规模无关。

这里我要在强调一下,即便这段代码循环 10000 次 、100000 次,只要是一个已知的数,跟 n 无关,照样也是常量级别的执行时间。当 n 无限大的时候,就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响,但是回到时间复杂度的概念来说,它表示的是一个算法执行效率与数据规模增粘的变化趋势,所以不管常量的时间多大,我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。

那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢?答案是 O(n) 和 O(n2),你应该能容易分析出来,我就不啰嗦了。

综合这三段代码的时间复杂度,我们取其中最大的量级。所以,整段代码的时间复杂度就为 O(n2)。也就是说:总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是:
如果 T1(n) = O(f(n)) , T2(n) = O(g(n)); 那么 T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n)),O(g(n))) = O(max(f(n),g(n))).

3. 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

我刚讲了一个复杂度分析中的加法法则,这儿还有一个乘法法则。类比一下,你应该能够 “猜到” 公式是什么样子的吧?

如果 T1(n)=O(f(n)), T2(n) = O(g(n)); 那么 T(n) = T1(n)T2(n)=O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n)g(n)).

也就是说,假设 T1(n) = O(n), T2(n) = O(n2), 则 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落实到具体的代码上,我们就可以把乘法法则看成是嵌套循环,我举个例子给你解释一下。

 1    int cal(int n){
 2        int ret = 0;
 3        int i = 1;
 4        for (; i < n; ++i) {
 5            ret = ret + f(i);
 6        }
 7    } 
 8
 9    int f(int n){
10       int sum = 0;
11       int i = 1;
12       for (; i < n; ++i){
13           sum += i;
14       }
15       return sum;
16    }

我们单独看 cal()函数。假设 f() 只是一个普通的操作,那第 4~6 行的时间复杂度就是,T1(n) = O(n)。但 f()函数本身不是一个简单的操作,它的时间复杂度是 T2(n)
= O(n),所以,整个 cal()函数的时间复杂度就是,T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

我刚刚讲了三种复杂度的分析技巧。不过,你并不用刻意去记忆。实际上,复杂度分析这个东西关键在于 “熟练” 。你只要多看案例,多分析,就能做到 “无招胜有招” 。

几种常见时间复杂度实例分析

虽然代码千差万别,但是常见的复杂度量级并不多。我稍微总结了一下,这些复杂度量级几乎涵盖了你今后可以基础所有代码的复杂度量级。

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对于刚罗列的复杂度量级,我们可以粗略地分为两类,多项式量级非多项式量级。其中,非多项式量级只有两个:O(2n)和 O(n!).

当数据规模 n 越来越大时,非多项式量级算法的执行时间会急剧增加;求解问题的执行时间会无限增长。所以,非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此,关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。

1. O(1)

首先你必须明确一个概念,O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。比如这段代码,即便有 3 行,它的时间复杂度也是 O(1) , 而 不是 O(3).

1    int i = 8;
2    int j = 6;
3    int sum = i + j;

我稍微总结一下,只要代码的执行时间不随 n 的增大而增大,这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1) 。或者说,一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是 O(1)

2. O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。

1    i = 1;
2    while (i <= n){
3        i = i * 2;
4    }

根据我们前面讲的复杂度分析方法,第三行代码是循环执行次数最多的。所以,我们只要能计算出这行代码被执行了多少次,就能知道整段代码的时间复杂度。

从代码中可以看出,变量 i 的值 从 1 开始取,没循环一次就乘以 2。当大于 n 时,循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗?实际上,变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把他一个一个列出来,就应该是这个样子的:

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所以,我们只要知道 x 值是多少,就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了,我就不多说了。x = log2n,所以,这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。

现在,我把代码稍微改下,你再看看,这段代码的时间复杂度是多少?

1    i = 1;
2    while (i <= n) {
3        i *= 3;
4    }

根据我刚刚讲的思路,很简单就能看出来,这段代码的时间复杂度为 O(log3n)。

实际上,不管事以 2 为底、以 3 为底,还是以 10 为底,我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢?

我们知道,对数之间是可以互相转换的,log32 * log2n,所以 O(log3) = O(C * log2n),其中 C = log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论:在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以,O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此,在对数阶时间复杂度的表示方法里,我们忽略对数的 “底”,统一表示为 O(logn)。

如果你理解了我前面讲的 O(logn),那么 O(nlogn) 就很容易理解了。还接得我们刚讲的乘法法则吗?如果一段代码的时间复杂度是 O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且,O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如,归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

3. O(m +n)、O(m * n)

我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度,代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩,先看代码!

 1      int cal(int m,int n){
 2        int sum_1 = 0;
 3        int i = 1;
 4        for (; i < m; ++i){
 5            sum_1 += i;
 6        }
 7        
 8        int sum_2 = 0;
 9        int j = 1;
10        for(; j < n; ++j){
11           sum_2 = sum_2 + j;
12        }
13        return sum_1 + sum_2;
14      }

从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m) * T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空间复杂度分析

前面,咱们花了很长时间将大 O 表示法和时间复杂度分析,理解了前面讲的内容,空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。

前面我讲过,时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度全称就是渐进空间复杂度 (asymptotic space complexity) , 表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

我还是拿具体的例子来给你说明。(这段代码有点 “傻”,一般没人会这么写,我这么写只是为了方便给你解释。)

  1  void print(int n ){
  2      int i = 0;
  3      int[] a = new int[n];
  4      for(i; i < n; ++i){
  5          a[i] *= i;
  6      }
  7      
  8      for(i = n - 1; i >= 0; --i){
  9          print out a[i]
 10     }
 11  }

跟时间复杂度分析一样,我们可以看到,第 2 行代码中,我们申请一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,除此之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2),像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以,对于空间复杂度,掌握刚我说的这些内容给已经足够了。

内容小结

基础复杂度分析的知识到此就讲完了,我们来总结一下。

复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系,可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2)。等你学完整个专栏之后,你就会发现几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个。

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复杂度分析并不难,关键在于多练。之后讲后面的内容时,我还会带你详细地分析每一种数据结构和算法时间、空间复杂度。只要跟着我的思路学习、练习,你很快就能和我一样,每次看到代码的时候,简单的一眼就能看出其复杂度,难的稍微分析一下就能得出答案。

课后思考

有人说,我们项目之前都会进行性能测试,在做代码的时间复杂度、空间复杂度分析,是不是多次一举?而且,每段代码都分析一下时间复杂度、空间复杂度,是不是很浪费时间呢?你怎么看待这个问题呢?

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